春天里,雨总是不期而至。
先是远处传来一阵沙沙声,像是无数蚕在啃食桑叶。
那声音由远及近,渐渐清晰起来。
天空灰蒙蒙的,云层低垂,压得人透不过气。空气中弥漫着潮湿的泥土气息,混合着新发芽的青草味道。
雨点开始落下。起初只是零星几点,轻轻敲打在窗棂上,发出细微的“嗒嗒”声。渐渐地,雨点变得密集起来,连成了一条条透明的丝线,斜斜地织就一张水网,笼罩着整个世界。
图书馆的灯光均匀地洒在习题册上,荷叶盯着那道画了三个红圈的三角函数题已经二十分钟了。题目要求证明:
sin?α/(1 cotα) cos?α/(1 tanα) ≡ 1 - sinαcosα
他的草稿纸上密密麻麻写满了各种尝试——将cotα和tanα转换为sin和cos的比值,通分合并,运用平方公式...但每次推到一半就会陷入复杂的分数运算中无法继续。荷叶皱着眉头在第三步的推导上画了个问号,准备再试一次。
“你这里的分母处理方式会让表达式更复杂。”
一个声音从右侧传来。荷叶转头,看到陈槐安不知何时盯着这边,正看着他的草稿纸。
“应该先统一角度,”陈槐安继续道,手指轻轻点在那行等式上,“你看,cotα和tanα都可以用sinα和cosα表示。”
荷叶有些意外,但还是递过草稿纸:“我试过了,但通分后分子部分会出现sin?α和cos?α,更难简化。”
陈槐安摇摇头,从自己包里抽出一张空白纸:“不需要直接通分。试试将整个表达式乘以(1 cotα)(1 tanα),然后观察分子。”
荷叶皱眉:“这样分母会消失,但分子将变得非常复杂。”
“不一定。”陈槐安快速写下几行式子:
令原式 = [sin?α(1 tanα) cos?α(1 cotα)] / [(1 cotα)(1 tanα)]
“现在看分子部分:sin?α sin?αtanα cos?α cos?αcotα”
荷叶眼前一亮:“sin?α cos?α = 1,所以可以简化为...”
“1 sin?α(sinα/cosα) cos?α(cosα/sinα)”陈槐安接话道,“也就是1 (sin?α/cosα cos?α/sinα)”
荷叶立刻意识到下一步:“可以合并为1 [(sin?α cos?α)/sinαcosα]!”
“对!”荷叶兴奋地压低声音,“而sin?α cos?α可以写成(sin?α cos?α)? - 2sin?αcos?α = 1 - 2sin?αcos?α”
两人几乎同时写下接下来的步骤:
分子 = 1 (1 - 2sin?αcos?α)/sinαcosα = 1 1/sinαcosα - 2sinαcosα
此时再看分母:(1 cotα)(1 tanα) = 1 tanα cotα tanαcotα
“tanαcotα=1,所以分母=2 tanα cotα”荷叶快速推导道。
“而tanα cotα = sinα/cosα cosα/sinα = (sin?α cos?α)/sinαcosα = 1/sinαcosα”陈槐安补充。
起初,荷叶并没有发现什么,还在一心一意的听着陈槐安讲题。
少年的嗓音清晰,像一把浸过冷泉的刀,低沉而锋利,不带一丝情绪的波纹。每个字都落得极准,不疾不徐,仿佛早已计算好音节与音节之间最精确的间隔。那是一种被岁月打磨过的冷淡,既不刻意疏离,也不故作深沉,只是自然而然地透着一股不容亲近的寒意。
偶尔,尾音会微微下沉,像冬夜里的最后一片雪,无声地消失在黑暗里。没有起伏,没有温度,连呼吸都像是经过精确控制,多一分则显刻意,少一分则显漠然。
因此分母=2 1/sinαcosα
现在原式可以表示为:
[1 1/sinαcosα - 2sinαcosα] / [2 1/sinαcosα]
令k=sinαcosα,则:
(1 1/k - 2k)/(2 1/k) = (k 1 - 2k?)/(2k 1)
荷叶突然发现这个多项式可以进行因式分解:
分子 = - (2k? - k -1) = - (2k 1)(k-1)
分母 = 2k 1
因此表达式简化为:
- (2k 1)(k-1)/(2k 1) = - (k-1) = 1 - k = 1 - sinαcosα
“证毕!”荷叶轻声惊呼,看着完整的证明过程,有种豁然开朗的快感。
陈槐安笑着点头:“关键在于不要被复杂的分母吓到,而是寻找整体结构的对称性。”
“你的方法比参考答案简单多了,”荷叶翻到习题册最后,对比标准答案的十二步推导,“书上用了万能公式代换。”
“万能公式在这里反而绕远路了。”陈槐安指着题目说,“这种对称结构的题目,通常有更优雅的解法。”
荷叶好奇地问:“你怎么会想到这种解法的?”
陈槐安在纸上画了个单位圆:“我习惯先想象图形。cotα和tanα在圆上的对应线段有对称关系,所以直觉告诉我应该整体考虑这两个分数。”
两人接着讨论了其他可能的解法。荷叶展示了一种通过引入辅助角的方法,而陈槐安则提出了将表达式视为关于sinα和cosα的齐次式的处理技巧。不知不觉间,窗外的天色已经暗了下来。
听他说话,像站在深秋的旷野,风从耳边掠过,不带任何情绪,却让人无端感到一种遥远的孤独。
荷叶几近入迷,仿佛世界上只剩下了他们两个。
突然,身旁的几个学生吱吱喳喳的小声说起话来:“哎?怎么下雨了?”
“没带伞啊?怎么回去啊,雨下这么大!”
“吱吱呀呀。”
凳子摩擦地面发出声响,荷叶抬起头往窗外看去。
雨水顺着屋檐滴落,在石阶上溅起一朵朵小小的水花。院中的老槐树被雨水洗刷着,枯黑的枝干上泛着湿润的光泽。树下的泥土贪婪地吮吸着水分,颜色由浅黄转为深褐。几只麻雀躲在树洞里,偶尔探出头来,又很快缩回去,抖抖羽毛上的水珠。
雨越下越大。雨声从沙沙变成了哗哗,最后连成一片轰鸣。雨水冲刷着屋顶的瓦片,顺着排水管奔涌而下,在地上汇成小溪,流向低洼处。整个世界仿佛被罩在一层水帘之中,远处的房屋和树木都变得模糊不清。
潮湿的空气里,飘来泥土的芬芳和草木的清香。这气息让人想起童年,想起母亲晾晒的被褥,想起放学路上踩过的水坑。春雨总是这样,悄然而至,滋润万物,又在不经意间勾起人们心底最柔软的回忆。
春天,就这样在雨中悄然而至。
天空在几分钟内从浅灰变成了浓墨般的黑色。雨点开始砸在窗玻璃上,起初是零星几点,很快就连成了线,最后变成了一道密不透风的水帘。
“看来要下很久。”陈槐安的声音从旁边传来。
“嗯,气象预报没说今天有雨。”荷叶有些心不在焉的回答。
窗外,雨声越来越大,像是无数细小的鼓点敲打着整个世界。图书馆里的人都聚集到了门口,望着这场突如其来的暴雨发愁。荷叶摸了摸背包侧面——果然,早上出门太急,伞又忘带了。
“你带伞了吗?”荷叶问道,眼睛还盯着外面如注的雨水。
陈槐安摇摇头:“没有,你呢?”
“我也没带。”荷叶看着外面的雨,说“看来我们得等雨小一点再走了。”
雨声有点催眠,荷叶顶着陈槐安的脸发呆。
水波纹倒映在他的脸上,自由,鲜活。
雨越下越大,没有停止的意思。
荷叶倾听着雨声,开口:“出去吧,雨不会停了。”
陈槐安起身收拾东西,回答:“好。”
他们并肩站在图书馆的玻璃门前,看着雨水在地面上溅起无数水花。空气中弥漫着潮湿的气息,混合着泥土和青草的味道。荷叶偷偷瞥了一眼陈槐安的侧脸,发现他的睫毛很长,在灯光下投下一小片阴影。
“其实...”荷叶突然开口,“我挺喜欢雨的。”
陈槐安并没有特别惊讶,但是还是顺着他的话问:“真的吗?大多数人都讨厌雨天。”
荷叶转过头,眼睛亮晶晶的:“雨声很安静,而且雨天出行不便我可以一个人待在家里。
一阵狂风卷着雨水拍打在玻璃门上,发出“啪”的一声巨响,吓得几个女生尖叫起来。雷声震天,闪电霹雳。
“看,雨小一点了。”陈槐安着外面,“要不要跑回去?教学楼离这不算太远。”
荷叶望向外面,雨势确实比刚才小了些,但仍然足以在十秒内把人淋透。他犹豫了一下,但看到陈槐安期待的眼神,莫名点了点头。
“好,跑回去。”
他们数到三,一起冲进了雨幕中。
少年时代的冲动,也许是一时兴起,也许也是蓄谋已久。
冰凉的雨水瞬间浸透了荷叶的头发和衣服,顺着他的脖颈流进衣领。他眯起眼睛,看见陈槐安在身旁面,白T恤已经变成了半透明,紧贴在背上。雨声在耳边轰鸣,但奇怪的是,荷叶并不觉得难受。相反,有种奇异的自由感随着奔跑涌上心头。
雨还在下,但此刻荷叶的世界仿佛静止了。他能感觉到陈槐安的呼吸喷在自己脸上,能看到他瞳孔中自己的倒影。他的睫毛上挂着水珠,随着眨眼的动作滚落,像是微型的流星。
就好像那次在杭州,两人披着外套,朝着酒店跑去。
教学楼的红砖墙被雨水浸透,颜色愈发深沉,宛如一幅洇了水彩的旧画。檐角垂下细长的水线,整齐地排成一列,落在台阶上便溅起微小的水花。
操场上的积水映出灰蒙蒙的天,几个不怕雨的少年在跑道上追逐,球鞋踏过水洼,惊起一片银亮的水珠。梧桐树的叶子湿漉漉地低垂着,偶尔承受不住雨滴的重量,便猛地一颤,将积蓄的雨水全数倾倒在树下。
雨幕中的校园,仿佛被罩在一层毛玻璃后面,所有的轮廓都变得柔软,所有的声音都带着水汽的回音。
他们就这样站在雨中对视了几秒,直到一阵更猛烈的雨势打破了这一刻。豆大的雨点砸在头上,两人同时回过神来。
“快跑!”荷叶拉起陈槐安的手,向最近的建筑物冲去。
他们躲进一栋教学楼的屋檐下,气喘吁吁。荷叶的头发不停地滴水,衬衫完全贴在了身上。
“我们看起来像两只落汤鸡。”陈槐安说,伸手拨了拨荷叶额前湿漉漉的刘海。
这个亲昵的动作让荷叶的心跳漏了一拍。他低头看着自己和陈槐安牵着的手,奇怪的是,他们谁都没有主动松开。
“你说你喜欢雨,”陈槐安说,“但这样淋雨不会感冒吗?”
荷叶着头想了想:“感冒了也值得。有些时刻...就像现在,比避免感冒重要得多。”
屋檐外的雨形成了水帘,将他们与外界隔开,仿佛创造了一个只属于两人的小世界。
雨势渐渐变小,从倾盆大雨变成了绵绵细雨。阳光开始穿透云层,在水洼中投下斑驳的光影。但他们谁都没有提出离开。
“我们这样会感冒的。”荷叶陈槐安的耳边轻声说,却没有松开手。
陈槐安轻笑,呼吸拂过荷叶的耳廓:“那就一起感冒吧。”
雨渐渐小了。云层透出一丝光亮,像是有人在天幕上撕开了一道口子。先是怯生生的,继而便大着胆子,将湿漉漉的世界照了个透亮。
街角的积水映着破碎的蓝天,行人踏过,便将它踩得更碎些。
屋檐的滴水变得稀疏,地上的水洼里映出渐渐明亮的天空。一只蝴蝶从树叶下飞出,抖动着湿漉漉的翅膀,在微凉的空气中试探着飞行。
远处的天空,乌云渐渐散去,一道彩虹横跨校园上空。
但躲在屋檐下的两人谁都没有注意到。
对他们来说,此刻最美的风景,就是彼此被雨水打湿却闪耀着幸福的脸庞。
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